Фёдор Петрович Веселков уроженец села Шарыпово (ныне город), бывшего крупной казачьей станицей Енисейской губернии. Родился в семье казачьего офицера, погибшего на гражданской войне.

Он играл на всех музыкальных инструментах, попадавших в руки, и твёрдо решил стать музыкантом. В 1936 году десятиклассник Фёдор Веселков написал первую песню «Октябрь» с аккомпанементом для гитары, на которой к этому времени он неплохо играл. Песня была опубликована в местной газете. Этот факт можно считать началом творческого пути композитора.

Музыкальная одарённость позволила ему, не имевшему начального музыкального образования, поступить в Хабаровское музыкальное училище на «теоретико-композиторское отделение». Закончив училище с отличными результатами, Фёдор Веселков без экзаменов, по направлению, был зачислен в Свердловскую консерваторию на композиторский факультет. Произошло это в 1941 году, за несколько дней до начала войны. В составе 162 дивизии Веселков ушел на фронт. Воевал на Кавказе и в Карпатах, получил тяжёлое ранение. Победу встретил в Праге, после чего вернулся для продолжения обучения в консерваторию.

Выпускной работой Фёдора Веселкова в консерватории стала кантата «Возвращение» для солистов, хора и оркестра на стихи А. Прокофьева, главной темой в которой была тема войны и победы.

Отклонив многие предложения, поступавшие от творческих вузов, испытывавших дефицит квалифицированных преподавательских кадров, он возвратился в родной регион, к Енисею, о котором впоследствии напишет множество хоров и песен. С 1950 года и до своего выхода на заслуженный отдых, Фёдор Петрович работал в Красноярском училище, в те годы называвшемся музыкальным, а позже ставшем Красноярским училищем искусств (ныне – Колледж искусств им. П.И. Иванова-Радкевича).

Большую часть времени Фёдор Веселков отдавал преподавательской работе. В начале 60-х годов по его инициативе в училище было открыто отделение теории музыки, которое он возглавил. Многие ученики Веселкова, продолжившие обучение в ведущих консерваториях страны, ныне доктора и кандидаты искусствоведения, композиторы и исполнители, отмеченные на российском и международном уровнях. Ф. Веселков принимал участие во всех мероприятиях Союза композиторов России, проходивших в сибирском регионе, общался и вёл переписку со многими известными российскими музыкантами, в частности, с Д. Шостаковичем.

Как композитор, Фёдор Веселков работал в вокальных и хоровых жанрах. Им написано огромное количество песен, романсов и хоров. В их числе «жемчужины» вокальной музыки «У окошечка я сидела» (слова народные), «Какой листопад на свете» (стихи С. Щипачёва). Тема хорового сочинения Ф. Веселкова «Енисей-богатырь» (на стихи И. Рождественского) некоторое время использовалась в качестве неофициального гимна Красноярска.